1122
需用時?02:14
213
169
數學常數e的含義

e是一個重要的常數,但是它的直觀含義卻不像π那么明了。我們都知道,圓的周長與直徑之比是一個常數,這個常數被稱為圓周率,記作π=3.14159…,可是如果我問你,e代表了什么,你能回答嗎?

不妨先來看看 維基百科 是怎么說的:

“e是自然對數的底數。”

但是,你去看“ 自然對數 ”這個條目,得到的解釋卻是:

“自然對數是以e為底的對數函數,e是一個無理數,約等于2.718281828。”

這構成了循環定義,完全沒有說e是什么。在這種情況下,數學家選擇這樣一個無理數作為底數,還號稱這種對數很"自然",這難道不是一件很奇怪的事情嗎?

e是增長極限

到底什么是e?簡單說來,e就是 增長的極限

下面這個例子就是對e直觀含義的極好詮釋:

某種類的一群單細胞生物每24小時全部分裂一次。在不考慮死亡與變異等情況下,那么很顯然,這群單細胞生物的總數量每天都會增加一倍。據此我們可以寫出它的增量公式:

growth= 2 x x表示天數

這個式子可以改寫成如下的樣子:

growth= (1+100%) x 其中,1表示原有數量,100%表示單位時間內(24小時)的增長率。

?

根據細胞生物學,每過12個小時,也就是分裂進行到一半的時候,平均會新產生一半原數量的新細胞,新產生的細胞在之后的12小時內已經在分裂了。

因此一天24個小時可以分成兩個階段,每一個階段的細胞數量都在前一個階段的基礎上增長50%:

/gkimage/uw/dx/dz/uwdxdz.png

即在一個單位時間內,這些細胞的數量一共可以增至為原數量的2.25倍。

倘若這種細胞每過8小時就可以產生平均1/3的新細胞,新生細胞立即具備獨立分裂的能力,那就可以將1天分成3個階段,在一天內時間細胞的總數會增至為:

/gkimage/cu/hb/iq/cuhbiq.png

即最后細胞數擴大為2.37倍。

實際上,這種分裂現象是不間斷、連續的,每分每秒產生的新細胞,都會立即和母體一樣繼續分裂,一個單位時間(24小時)最多可以得到多少個細胞呢?答案是:

/gkimage/k1/lj/i3/k1lji3.png

當增長率為100%保持不變時,在單位時間內細胞種群最多只能擴大2.71828倍。 數學家把這個數就稱為e,它的含義是單位時間內,持續的翻倍增長所能達到的極限值

這個值是自然增長的極限,是“自然律”的精髓所在,因此以e為底的對數,就叫做自然對數。

/gkimage/8j/iv/d7/8jivd7.png

你不會自成“大款”——到e為止

有了這個值以后,計算銀行的復利就非常容易。

假定有一家銀行,每年的復利是100%,請問存入100元,一年后可以拿多少錢?

答案是:

/gkimage/sl/5a/eo/sl5aeo.png

但是事實上,存儲利息沒有這么高,如果復利率只有5%,那么100元存一年可以拿到多少錢呢:

/gkimage/is/4d/cr/is4dcr.png

我們知道,在100%利息率的情況下,n=1000時,下式的值非常接近e:

/gkimage/sf/wm/oq/sfwmoq.png

為了便于思考,取n等于50:

/gkimage/71/vg/cc/71vgcc.png

當利息率是5%時,存款增長率就相當于e的20分之一次方:

/gkimage/qs/ke/ku/qskeku.png

1/20正好等于5%,所以我們可以把上式改寫成:

/gkimage/g7/r2/tt/g7r2tt.png

rate表示利率。

再考慮時間因素,如果存款年限t年,那么存款最終增長率為:

/gkimage/cs/5o/6m/cs5o6m.png

這說明e可以用于任何連續不斷的復合式增長率的計算,而上式也是這個增長率的通用計算公式。

帶著這個結論再回到上面的例子。如果銀行的利息率是5%的復利,求解100元存款翻倍需要多少時間就等價于解下面的方程:

/gkimage/o5/1p/qp/o51pqp.png

計算結果得13.86年:

/gkimage/wt/d6/r8/wtd6r8.png

可以看到:用72除以增長率就是翻倍的大致時間。這正是經濟學上著名的72法則。

?
編者按:e是“指數”(exponential)的首字母,也是歐拉名字的首字母。和圓周率π及虛數單位i一樣,e是最重要的數學常數之一。第一次把e看成常數的是雅各布?伯努利,他開始嘗試計算lim(1+1/n) n 的值,1727年歐拉首次用小寫字母“e”表示這常數,此后遂成標準。

本文來源: 阮一峰的網絡日志

原文出處: http://betterexplained.com/articles/an-intuitive-guide-to-exponential-functions-e/

The End

發布于2011-07-12, 本文版權屬于果殼網(guokr.com),禁止轉載。如有需要,請聯系果殼

我的評論

阮一峰

果殼作者

pic
    pk10稳赢公式反着压